重积分
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重积分
若尔当测度
简单集合的测度
定义
- 设 \(I_j\ (1 \leqslant j \leqslant n)\) 是 \(\mathbb R\) 中的有界区间, 我们称 \(I_1\times I_2\times\cdots \times I_n\) 为 \(\set R n\) 中的矩形. 若 \(\set R n\) 中的子集 \(E\) 可表为有限多个矩形的并, 则称 \(E\) 是 \(\set R n\) 中的简单集合. 特别的, 空集也是简单集合.
命题
- 设 \(E,F\) 是 \(\set R n\) 中的简单集合, 则 \(E\cup F,\ E \cap F, \ E\backslash F,\ E\Delta F\) 也均是 \(\set R n\) 中的简单集合. 此外, 对任意的 \(\bm a \in \set R n\), \(E+\bm a=\{\bm x +\bm a:\bm x \in E\}\) 是 \(\set R n\) 中的简单集合.
定义
- 我们用 \(|I|\) 来表示 \(\mathbb R\) 中有界区间 \(I\) 的长度, 由此我们定义 \(\set R n\) 中矩形 \(Q=I_1\times I_2\times\cdots\times I_n\) 的体积 \(|Q|\) 为 $$ |Q|=\prod\limits_{j=1}^n |I_j| $$ 根据这个定义知, \(|Q|=|\overline{Q}|\).
命题
-
设 \(E\) 是 \(\set R n\) 中的一个简单集合, 那么
(1) \(E\) 可表为有限多个两两不相交的矩形的并, 并称之为 \(E\) 的划分.
(2) 若 \(E\) 可用如下两种方式写成互不相交的矩形的并
$$ E=\bigcup\limits_{i=1}^m Q_i=\bigcup\limits_{j=1}^k Q_j', $$
则
$$ \sum\limits_{i=1}^m |Q_i|=\sum\limits_{j=1}^j |Q_j'|. $$
定义
- 设 \(E\) 是 \(\set R n\) 中的一个简单集合, \(E=Q_1\cup \cdots \cup Q_m\) 是 \(E\) 的一个划分, 则记 $$ \mu(E)=\sum\limits_{i=1}^m|Q_i| $$ 并称之为 的测度.
命题
-
设 \(E,F\) 均是 \(\set R n\) 中的简单集合, 则
(1)(有限可加性) 若 \(E\cap F=\varnothing\), 则 \(\mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)\);
(2)(单调性) 若 \(E\subseteq F\), 则 \(\mu(E)\leqslant\mu(F)\);
(3)(次可加性) \(\mu(E\cup F)\leqslant \mu(E)+\mu(F)\);
(4)(平移不变性) 对任意的 \(\bm a\in \mathbb{R}^n\) 有 \(\mu(E+\bm a)=\mu(E)\).
若尔当测度
定义
-
设 \(S\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界集, 我们称由 $$ \mu_(S)=\sup{\mu(A):A\subseteq S\ \text{且}\ A\ \text{是简单集合}} $$ 定义的 \(\mu_*(S)\) 为 \(S\) 的若尔当内测度; 称由 $$ \mu^(S)=\inf{\mu(B):B\supseteq S\ \text{且}\ B\ \text{是简单集合}} $$ 定义的 \(\mu^*(S)\) 为 \(S\) 的若尔当外测度.
当 \(\mu_*(S)=\mu^*(S)\) 时, 则称 \(S\) 为若尔当可测集, 并将这一值记作 \(\mu(S)\) 称为 \(S\) 的若尔当测度或容度.
特别的, 当 \(\mu(S)=0\) 时, 我们称之为若尔当零测集.
命题
- 根据定义, 对任意的有界集 \(S\) 有
$$
0\leqslant\mu_*(S)\leqslant\mu^*(S).
$$
定理
-
设 \(S\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界集, 则下列命题等价:
(1) \(S\) 是若尔当可测集.
(2) 对任意的 \(\varepsilon>0\), 存在简单集合 \(A,B\) 满足 \(A\subseteq S\subseteq B\) 以及 \(\mu(B\backslash A)<\varepsilon\).
(3) \(\partial S\) 为若尔当零测集.
命题
-
设 \(E,F\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的若尔当可测集, 则
(1) \(E\cup F,\ E\cap F,\ E\backslash F,\ E\Delta F\) 均是 \(\mathbb{R}^n\) 中的若尔当可测集.
(2)(有限可加性) 若 \(E\) 和 \(F\) 无公共内点, 则 \(\mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)\).
(3)(单调性) 若 \(E\subseteq F\), 则 \(\mu(E)\leqslant\mu(F)\).
(3)(次可加性) \(\mu(E\cup F)\leqslant \mu(E)+\mu(F)\).
(4)(平移不变性) 对任意的 \(\bm a\in \mathbb{R}^n\) 有 \(\mu(E+\bm a)=\mu(E)\).
命题
-
设 \(K\) 是 \(\mathbb{R}^{n-1}\) 中的\(\text{紧集}\), \(f:K\to\mathbb{R}\) 是一个连续函数, 那么集合 $$ S={(\bm x,f(\bm x)):x\in K} $$ 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的若尔当零测集.
-
设 \(E,F\) 均是 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界集且 \(E\subseteq F\), 证明 $$ \mu_(E)\leqslant\mu_(F)\quad\text{以及}\quad\mu^(E)\leqslant\mu^(F). $$
证明
-
对任一的 \(\varepsilon>0\), 存在简单集合 \(A\), 满足 \(A\subseteq E\wedge \mu(A)\geqslant \mu_*(E)-\varepsilon\), 又 \(A\subseteq E\subseteq F\), \(\mu_*(F)\) 是上界有 \(\mu(A)\leqslant\mu_*(F)\). 从而 \(\mu_*(E)-\varepsilon\leqslant \mu(A)\leqslant\mu_*(F)\), 再由 \(\varepsilon\) 的任意性知 \(\mu_*(E)\leqslant\mu_*(F)\).
另一侧同理. -
设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界集, 并且 \(E\) 只有有限多个聚点, 证明 \(\mu(E)=0\).
证明
-
设 \(E\) 的聚点为 \(\{\bm a_1,\bm a_2,\ldots,\bm a_m\}\).
$\forall\ \varepsilon>0$, 我们取矩形列 $\{Q_j\}$ 满足 $|Q_j|=\dfrac{\varepsilon}{2m}\wedge\bm a_j\in Q_j^\circ$. 那么考虑 $E\backslash\bigcup\limits_{j=1}^m Q_j$ 就应该是有限集, 否则由$\text{波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理}$ $E\backslash\bigcup\limits_{j=1}^m Q_j$ 存在聚点 $\bm b$, 但 $\bm b\notin Q_j^\circ,\ \forall j\leqslant m$, 所以与 $E$ 的全部聚点为 $\{\bm a_1,\bm a_2,\ldots,\bm a_m\}$ 矛盾, 从而 $E\backslash\bigcup\limits_{j=1}^m Q_j$ 是有限集, 记作 $\{\bm b_1,\bm b_2,\ldots,\bm b_n\}$. 那么取矩形列 $\{Q_i'\}$ 满足 $|Q_i'|=\dfrac{\varepsilon}{2n}\wedge \bm b_i\in Q_i'$. 从而 $E\subseteq\bigcup\limits_{j=1}^m Q_j\cup\bigcup\limits_{i=1}^n Q_i'$, 则有 $\mu^*(E)\leqslant\sum\limits_{j=1}^m|Q_j|+\sum\limits_{i=1}^n|Q_i'|=\varepsilon$. 再由 $\varepsilon$ 的任意性知 $\mu^*(E)=0$, 即 $\mu(E)=0$. -
设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的有界集, 证明 \(\mu^*(E)=\mu^*(\overline{E})\wedge\mu_*(E)=\mu_*(E^\circ)\).
-
把 \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) 中的元素排成一列, 记作 \(a_1,a_2,\ldots,a_m,\ldots,\) 又令 \(\varepsilon=\frac 1 4\). 证明集合 $$ \bigcup\limits_{m=1}^\infty \left(a_m-\frac \varepsilon{2^m},a_m+\frac\varepsilon{2^m}\right) $$ 是 \(\mathbb{R}\) 中的一个若尔当不可测的开集, 并由此构造出一个若尔当不可测的.
解:
- 考虑集合 \([-2,2]\backslash S\).
闭矩形上的积分
定义
- 闭矩形上的黎曼可积.
命题
- 若 \(f\) 在 \(Q\) 上可积, 则 \(f\) 在 \(Q\) 上有界.
定义
- 达布和.
定义
- 设 \(S\subseteq \mathbb{R}^n\). 若对任意的 \(\varepsilon>0\), 存在至多可数个开矩形 \(Q_i\), 使得 $$ S\subseteq\bigcup\limits_{i}Q_i\quad\text{且}\quad \sum\limits_{i}|Q_i|<\varepsilon $$ 则称 \(S\) 为 \(\mathbb{R}^n\) 中的勒贝格零测集.
命题
-
(1) \(\mathbb{R}^n\) 中的至多可数集是 \(\mathbb{R}^n\) 中的勒贝格零测集.
(2) \(\mathbb{R}^n\) 中至多可数个勒贝格零测集的并仍是 \(\mathbb{R}^n\) 中的勒贝格零测集.
命题
-
(1) 若尔当零测集是勒贝格零测集.
(2) 有界闭的勒贝格零测集是若尔当零测集.
注
- 因为边界集是闭集, 所以有界集 \(S\) 是若尔当可测集当且仅当 \(\partial S\) 是勒贝格零测集.
定理 勒贝格
- 设 \(Q\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的闭矩形, 那么定义在 \(Q\) 上的有界函数 \(f\) 在 \(Q\) 上黎曼可积的充要条件是 \(f\) 的全体间断点构成勒贝格零测集.
推论
-
设 \(Q\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的闭矩形, \(f\) 在 \(Q\) 上可积.
(1) 若 \(\{\bm x\in Q:f(\bm x)\neq 0\}\) 是勒贝格零测集, 则 \(\mint[Q]f=0\).
(2) 若 \(f\) 非负且 \(\mint[Q] f=0\), 则 \(\{\bm x\in Q:f(\bm x)\neq=0\}\) 是勒贝格零测集. -
对 \(1\leqslant j\leqslant n\), 设 \(f_j(x)\) 在 \([a_j,b_j]\) 上可积. 证明 \(n\) 元函数 \(f_1(x_1)f_2(x_2)\cdots f_n(x_n)\) 在 \(Q=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\cdots\times[a_n,b_n]\) 上可积且 $$ \underset{Q\ \ }{\int\cdots\int}f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)\text{d} x_1\cdots\text{d} x_n=\prod\limits_{j=1}^n\left(\int_{a_j}^{b_j}f_j(x)\text{d} x\right). $$
-
设 \(Q\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的一个闭矩形, \(f:Q\to\mathbb{R}\). 证明 \(f\) 在 \(Q\) 上可积且 \(\mint[Q]f=A\) 的充要条件是: 对任意的 \(\varepsilon>0\), 存在 \(\delta>0\), 使得 \(\mathbb{R}^n\) 中两两无公共内点的若尔当可测集 \(J_1,\ldots,j_k\) 只要满足 $$ \max\limits_{1\leqslant i\leqslant k} \text{diam}(J_i)<\delta\quad\text{以及}\quad Q=\bigcup\limits_{i=1}^k J_i, $$ 就对任意的 \(\bm\xi_i\in J_i\) 有 $$ \left|\sum\limits_{i=1}^kf(\bm\xi_i)\mu(J_i)-A\right|<\varepsilon. $$
有界集上的积分
定理 积分中值定理
-
设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的若尔当可测集, \(f\) 与 \(g\) 在 \(E\) 上可积且 \(g\) 在 \(E\) 上. 现记 \(m=\inf\limits_{\bm x\in E} f(\bm x),M=\sup\limits_{\bm x\in E} f(\bm x)\), 那么存在 \(\kappa\in[m,M]\) 使得 $$ \int_E fg=\kappa\cdot\int_E g. $$
特别地, 存在 \(\lambda\in[m,M]\) 使得 $$ \int_E f=\lambda\cdot \mu(E). $$
富比尼定理
定理 富比尼 (Fubini) 定理
- 设 \(Q=Q_1\times Q_2\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的闭矩形,
变量替换
反常重积分
定义
- 设 \(E\subseteq \set R n\), 如果若尔当可测集列 \(\{E_m\}\) 满足 $$ E_m\subseteq E_{m+1}\ (\forall\ m \geqslant 1)\qquad \text{以及} \qquad \bigcup\limits_{m=1}^\infty E_m=E, $$ 则称 \(\{E_m\}\) 是 \(E\) 的一个穷竭.
注: 该名称并不是通用的, 仅在陆亚明《数学分析入门》中使用.
定义
- 设 \(E\subseteq \set R n, f:E\longrightarrow \mathbb R\). 如果对 \(E\) 的使得 \(f\) 在每个 \(E_m\) 上均可积的任意穷竭 \(\{E_m\}\), 极限 $$ \lim\limits_{m\to\infty} \int_{E_m}f $$ 都存在且相等, 那么我们就称 \(f\) 在 \(E\) 上可积, 并将上述极限值记作 $$ \int_E f, $$
此时也称积分 \(\displaystyle\int_E f\) 收敛. 否则就称 \(\displaystyle\int_E f\) 发散, 或称 \(f\) 在 \(E\) 上不可积.
引理
- 设 \(E\subseteq \set R n\), \(f\) 是定义在 \(E\) 上的函数. 若存在 \(E\) 的一个穷竭 \(\{E_m\}\), 使得 \(f\) 在每个 \(E_m\) 上均可积, 那么对于 \(E\) 的任一穷竭 \(\{F_k\}\), 只要 \(f\) 在每个 \(F_k\) 上有界, 它就在每个 \(F_k\) 上可积.
证明
- 考虑 \(\{E_m\cap F_k:m\geqslant 1\}\) 是 \(F_k\) 的穷竭. 考虑 \(F_k\) 的不连续点由 \(E_m\cap F_k\) 的内部的不连续点和 \(\partial(E_m\cap F_k)\) 中的不连续点构成. 又 \(E_m\) 可积, \(E_m\cap F_k\) 若当可测. 那么就有上述两部分的点均为勒贝格零测集. 由此 \(f\) 在 \(F_k\) 上可积.
命题
- 设 \(E\) 若尔当可测且 \(f\) 在 \(E\) 上可积, \(\{E_m\}\) 是 \(E\) 的一个穷竭, 那么 \(\lim\limits_{m\to\infty}\mu(E_m)=\mu(E)\) 并且 $$ \lim\limits_{m\to\infty} \int_{E_m} f = \int_E f. $$
命题
- 设 \(E\subseteq \set R n,f:E\longrightarrow \set R n\) 是一个非负函数, 那么 \(\dps{\int_E f}\) 收敛的充要条件是: 存在 \(E\) 的穷竭 \(\{E_m\}\) 使得 \(f\) 在每个 \(E_m\) 上均可积, 并且极限 $$ \lim\limits_{m\to\infty}\int_{E_m} f $$ 存在.
命题
- (比较判别法)
设 \(E\subseteq \set R n,\ f\) 与 \(g\) 均是定义在 \(E\) 上的非负函数并且 $$ f(x)\leqslant g(x),\quad \forall x\in E. $$ 又设存在 \(E\) 的穷竭 \(\{E_m\}\) 使得 \(f\) 与 \(g\) 均在每个 \(E_m\) 上可积. 如果 \(\dps{\int_E g}\) 收敛, 那么 \(\dps{\int_E f}\) 也收敛.
命题
- 设 \(E\) 是 \(\set R n\) 的一个无界子集, \(f\) 是定义在 \(E\) 上的非负函数. 又设对任意的 \(m\geqslant 1,\ B(\bm 0,m)\cap E\) 均是若尔当可测集且 \(f\) 在其上可积. 此外, 还设存在常数 \(p>n\), 使得 \(\dps{\frac{1}{|\bm x|^p}}\) 在 \((E\cap B(\bm 0,m))\backslash B(\bm 0,1)\ (m\geqslant 1)\) 上可积, 并且当 \(|\bm x|\) 充分大时有 $$ f(\bm x)<<\frac{1}{|\bm x|^p}, $$ 那么 \(\dps{\int_E f}\) 收敛.
命题
- 设 \(E\) 是 \(\set R n\) 中的有界集, \(f\) 是定义在 \(E\) 上的非负函数, 且 \(\bm x_0 \in \partial E\) 是 \(f\) 的唯一奇点. 又设对任意的 \(m\geqslant 1,\ E\backslash B(\bm x_0,\frac 1 m)\) 均是若尔当可测集且 \(f\) 在其上可积, 此外, 还假设存在常数 \(p<n\), 使得函数 \(\dfrac{1}{|\bm x-\bm x_0|^p}\) 在 \(E\backslash B(\bm x_0,\frac 1 m)\ (m\geqslant 1)\) 上可积, 并且当 \(\bm x \to \bm x_0\ (\bm x \in E)\) 时有 $$ f(\bm x)<<\frac{1}{|\bm x-\bm x_0|^p}, $$ 那么 \(\dps{\int_E f}\) 收敛.
引理
- 设 \(E\subseteq \mathbb{R}^n\), \(f\) 与 \(g\) 是定义在 \(E\) 上的非负函数. 如果 \(\dps \int_E f\) 与 \(\dps\int_E g\) 均收敛, 那么 \(\dps\int_E f+g\) 也收敛且 $$ \int_E f+g = \int_E f+\int_E g. $$
命题
- 设 \(E\subseteq \mathbb{R}^n,\ f:E\longrightarrow\mathbb{R}\). 如果 \(\dps\int_E f\) 收敛, 那么 \(\dps\int_E |f|\) 也收敛.
命题
-
设 \(E,F\subseteq\mathbb{R}^n\), 函数 \(f\) 在 \(E\cup F\) 上有定义, \(g\) 在 \(E\) 上有定义.
(1) 若 \(\mint[E]f\) 收敛, 则对任意的 \(a\in\mathbb{R}\), \(\mint[E] af\) 收敛, 且 $$ \mint[E] af=a\mint[E] f. $$
(2) 若 \(\mint[E] f\) 和 \(\mint[g]\) 均收敛, 则 \(\mint[E](f+g)\) 也收敛, 且 $$ \mintE=\mint[E] f+\mint[E] g. $$
(3) 若 \(E\) 和 \(F\) 无公共内点, 且 \(\mint[E] f\) 与 \(\mint[F] f\) 均收敛, 则 \(\mint[E\cup F] f\) 收敛, 且 $$ \int_{E\cup F} f = \int_E f+\int_F f. $$
定理
- 设 \(E\subseteq \mathbb{R}^n,\ f:E\longrightarrow\mathbb{R}\), 那么 \(\mint[E] f\) 收敛当且仅当 \(\mint[E] |f|\) 收敛.
注
- 此处重积分与一元反常积分略有差异, 在本节定义 中需针对任意穷竭, 对应到一元中其实就是在考虑黎曼重排, 而一元中仅仅是条件收敛, 即意味着可以黎曼重排使极限为任意值时, 在本节定义 下是发散的. 而当一元情形是绝对收敛的, 在该定义下才是收敛的, 故在多元中收敛与绝对值收敛等价.
定理
- 设 \(E\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的开集, \(\varphi:E\longrightarrow\varphi(E)\) 是一个连续可微的双射, 并且对任意的 \(\bm x \in E\) 而言 \(\varphi'(\bm x)\) 均非奇异. 又设定义在 \(\varphi(E)\) 的函数 \(f\) 在 \(\varphi(E)\) 的任一若尔当可测紧子集上可积. 那么当 $$ \int_{\varphi(E)} f\quad\text{与}\quad\int_{E}(f\circ \varphi)|\det \varphi'| $$ 中有一个收敛时, 另一个必收敛, 且有 $$ \int_{\varphi(E)} f=\int_{E}(f\circ \varphi)|\det \varphi'| $$
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